Dạng tổng quát của các phương trình chuyển động chưa "sẵn sàng để sử dụng", tensor ứng suất vẫn còn chưa được biết vì vậy việc bổ sung thêm thông tin là cần thiết; thông tin này thường là một số kiến thức về hành vi nhớt của chất lưu. Đối với các loại dòng chảy chất lưu khác nhau điều này cho kết quả là các dạng cụ thể của các phương trình Navier - Stokes.

Chất lưu Newton 

Chất lưu Newton nén được 

Công thức cho các chất lưu Newton bắt nguồn từ quan sát của Newton rằng, đối với hầu hết các chất lưu,

τ ∝ ∂ u ∂ y {\displaystyle \tau \propto {\frac {\partial u}{\partial y}}}

Để áp dụng điều này vào các phương trình Navier - Stokes, ba giả định đã được Stokes đưa ra:

• Các tensor ứng suất là một hàm tuyến tính của các tensor biến dạng.
• Các chất lưu là đẳng hướng.
• Đối với chất lưu ở trạng thái tĩnh, ∇ ⋅ τ {\displaystyle \nabla \cdot {\boldsymbol {\tau }}} phải bằng không (áp lực thủy tĩnh).

Áp dụng các giả định này sẽ dẫn đến: 

τ i j = μ ( ∂ u i ∂ x j + ∂ u j ∂ x i − 2 3 δ i j ∂ u k ∂ x k ) + δ i j λ ∂ u k ∂ x k {\displaystyle \tau _{ij}=\mu \left({\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{j}}}+{\frac {\partial u_{j}}{\partial x_{i}}}-{\tfrac {2}{3}}\delta _{ij}{\frac {\partial u_{k}}{\partial x_{k}}}\right)+\delta _{ij}\lambda {\frac {\partial u_{k}}{\partial x_{k}}}}

đây là, thành phần lệch (deviatoric) của tensor tốc độ biến dạng được xác định theo thành phần lệch của tensor ứng suất, dựa trên một hệ số μ.[4]

δ i j {\displaystyle \delta _{ij}} là Kronecker delta. μ và λ là các hằng số tỉ lệ gắn với giả định rằng ứng suất phụ thuộc vào biến dạng một cách tuyến tính; μ được gọi là hệ số đầu tiên của độ nhớt (thường được gọi đơn giản là "độ nhớt") và λ là hệ số thứ hai của độ nhớt (liên quan đến độ nhớt toàn khối (bulk viscosity)). Giá trị của λ tạo ra hiệu ứng nhớt gắn liền với sự thay đổi thể tích, nhưng nó rất khó xác định được giá trị này, thậm chí nó có giá trị âm hay dương cũng rất khó để chắc chắn tuyệt đối. Ngay cả trong dòng chảy nén được, các số hạng có chứa λ là thường bị bỏ qua; Tuy nhiên thỉnh thoảng nó có thể quan trọng ngay cả trong dòng chảy gần như không nén được và là một vấn đề tranh cãi. Khi dùng giá trị khác không, giá trị xấp xỉ phổ biến nhất của nó là λ ≈ - ⅔ μ.[5]

Thay τ i j {\displaystyle \tau _{ij}} vào phương trình bảo tồn động lượng sẽ được các phương trình Navier - Stokes, mô tả một chất lưu Newton nén được:

ρ ( ∂ u ∂ t + u ⋅ ∇ u ) = − ∇ p + ∇ ⋅ ( μ ( ∇ u + ( ∇ u ) T ) ) + ∇ ( − 2 μ 3 ∇ ⋅ u ) + ρ g {\displaystyle \rho \left({\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+\mathbf {u} \cdot \nabla \mathbf {u} \right)=-\nabla p+\nabla \cdot \left(\mu (\nabla \mathbf {u} +(\nabla \mathbf {u} )^{T})\right)+\nabla \left(-{\frac {2\mu }{3}}\nabla \cdot \mathbf {u} \right)+\rho \mathbf {g} }

trong đó, chuyển vị đã được sử dụng. Lực khối được chia thành mật độ và gia tốc bên ngoài, nghĩa là f = ρ g {\displaystyle \mathbf {f} =\rho \mathbf {g} } . Phương trình tính liên tục khối lượng tương ứng là:

∂ ρ ∂ t + ∇ ⋅ ( ρ u ) = 0 {\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot (\rho \mathbf {u} )=0}

Ngoài phương trình này, một phương trình trạng thái và một phương trình bảo tồn năng lượng là cần thiết. Phương trình trạng thái nào được sử dụng còn tùy thuộc vào từng trường hợp (thường là định luật khí lý tưởng), sự bảo toàn năng lượng sẽ như sau:

ρ D h D t = D p D t + ∇ ⋅ ( k ∇ T ) + Φ {\displaystyle \rho {\frac {Dh}{Dt}}={\frac {Dp}{Dt}}+\nabla \cdot (k\nabla T)+\Phi }

Ở đây, h {\displaystyle h} là enthalpy, T {\displaystyle T} là nhiệt độ, và Φ {\displaystyle \Phi } là một hàm đại diện cho sự tiêu tán năng lượng do hiệu ứng nhớt:

Φ = μ ( 2 ( ∂ u ∂ x ) 2 + 2 ( ∂ v ∂ y ) 2 + 2 ( ∂ w ∂ z ) 2 + ( ∂ v ∂ x + ∂ u ∂ y ) 2 + ( ∂ w ∂ y + ∂ v ∂ z ) 2 + ( ∂ u ∂ z + ∂ w ∂ x ) 2 ) + λ ( ∇ ⋅ u ) 2 {\displaystyle \Phi =\mu \left(2\left({\frac {\partial u}{\partial x}}\right)^{2}+2\left({\frac {\partial v}{\partial y}}\right)^{2}+2\left({\frac {\partial w}{\partial z}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial v}{\partial x}}+{\frac {\partial u}{\partial y}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial w}{\partial y}}+{\frac {\partial v}{\partial z}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial u}{\partial z}}+{\frac {\partial w}{\partial x}}\right)^{2}\right)+\lambda (\nabla \cdot \mathbf {u} )^{2}}

Với một phương trình trạng thái tốt và các hàm số thích hợp đại diện cho sự phụ thuộc của các tham số (như là độ nhớt) vào các biến, hệ thống các phương trình này dường như mô hình hóa đúng động lực học của tất cả các loại chất khí đã được biết đến và hầu hết các chất lỏng.

Chất lưu Newton không nén được

Đối với trường hợp đặc biệt (nhưng rất phổ biến) của dòng chảy không nén được, các phương trình động lượng được đơn giản hóa đáng kể.  Dưới các giả định sau:

• Độ nhớt μ {\displaystyle \mu } bây giờ sẽ là một hằng số
• Hiệu ứng độ nhớt thứ hai λ = 0 {\displaystyle \lambda =0}
• Phương trình tính liên tục khối lượng được đơn giản hóa ∇ ⋅ u = 0 {\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {u} =0}

sau đó nhìn vào các số hạng nhớt của phương trình động lượng theo phương x {\displaystyle x} như là một ví dụ, chúng ta có:

∂ ∂ x ( 2 μ ∂ u ∂ x + λ ∇ ⋅ u ) + ∂ ∂ y ( μ ( ∂ u ∂ y + ∂ v ∂ x ) ) + ∂ ∂ z ( μ ( ∂ u ∂ z + ∂ w ∂ x ) ) = 2 μ ∂ 2 u ∂ x 2 + μ ∂ 2 u ∂ y 2 + μ ∂ 2 v ∂ y ∂ x + μ ∂ 2 u ∂ z 2 + μ ∂ 2 w ∂ z ∂ x = μ ∂ 2 u ∂ x 2 + μ ∂ 2 u ∂ y 2 + μ ∂ 2 u ∂ z 2 + μ ∂ 2 u ∂ x 2 + μ ∂ 2 v ∂ y ∂ x + μ ∂ 2 w ∂ z ∂ x = μ ∇ 2 u + μ ∂ ∂ x ( ∂ u ∂ x + ∂ v ∂ y + ∂ w ∂ z ) 0 = μ ∇ 2 u {\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {\partial }{\partial x}}\left(2\mu {\frac {\partial u}{\partial x}}+\lambda \nabla \cdot \mathbf {u} \right)+{\frac {\partial }{\partial y}}\left(\mu \left({\frac {\partial u}{\partial y}}+{\frac {\partial v}{\partial x}}\right)\right)+{\frac {\partial }{\partial z}}\left(\mu \left({\frac {\partial u}{\partial z}}+{\frac {\partial w}{\partial x}}\right)\right)\\\\&=2\mu {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+\mu {\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}+\mu {\frac {\partial ^{2}v}{\partial y\,\partial x}}+\mu {\frac {\partial ^{2}u}{\partial z^{2}}}+\mu {\frac {\partial ^{2}w}{\partial z\,\partial x}}\\\\&=\mu {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+\mu {\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}+\mu {\frac {\partial ^{2}u}{\partial z^{2}}}+\mu {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+\mu {\frac {\partial ^{2}v}{\partial y\,\partial x}}+\mu {\frac {\partial ^{2}w}{\partial z\,\partial x}}\\\\&=\mu \nabla ^{2}u+\mu {\frac {\partial }{\partial x}}{\cancelto {0}{\left({\frac {\partial u}{\partial x}}+{\frac {\partial v}{\partial y}}+{\frac {\partial w}{\partial z}}\right)}}=\mu \nabla ^{2}u\end{aligned}}\,}

Tương tự đối với các hướng động lượng y {\displaystyle y} and z {\displaystyle z} chúng ta có μ ∇ 2 v {\displaystyle \mu \nabla ^{2}v} and μ ∇ 2 w {\displaystyle \mu \nabla ^{2}w} .

Giải pháp trên là chìa khóa để rút ra các phương trình Navier - Stokes từ phương trình của chuyển động trong động lực học chất lưu khi mật độ và độ nhớt là các hằng số.

Chất lưu phi Newton

Một chất lưu phi Newton là một chất lưu có các thuộc tính dòng chảy không giống (theo bất kỳ cách nào) với các chất lưu Newton. Sự khác nhau phổ biến nhất đó là độ nhớt của chất lưu phi Newton không độc lập với tốc độ cắt hoặc lịch sử tốc độ cắt. Tuy nhiên, có một số chất lưu phi Newton có độ nhớt độc lập với lực cắt, điều này dù sao cũng cho thấy sự khác nhau trong ứng suất pháp hoặc các ứng xử phi Newton khác. Nhiều dung dịch muối và polyme nóng chảy là chất lưu phi Newton, ví dụ như nhiều chất thường thấy như nước sốt cà chua, sữa trứng, kem đánh răng, huyền phù tinh bột, sơn, máu, và dầu gội. Trong một chất lưu Newton, mối quan hệ giữa ứng suất cắt và tốc độ cắt là tuyến tính, đi qua gốc tọa độ, hằng số tỉ lệ là hệ số độ nhớt. Trong một chất lưu phi Newton, mối quan hệ giữa ứng suất cắt và tốc độ cắt khác với chất lưu Newton, và thậm chí còn phụ thuộc thời gian. Nghiên cứu về các chất lưu phi Newton thường được gọi là lưu biến học (rheology). Một vài ví dụ được đưa ra ở đây.

Chất lưu Bingham

Trong các chất lưu Bingham, tình hình có khác đôi chút:

∂ u ∂ y = { 0 , τ < τ 0 ( τ − τ 0 ) / μ , τ ≥ τ 0 {\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial y}}=\left\{{\begin{matrix}0&,\quad \tau <\tau _{0}\\(\tau -\tau _{0})/{\mu }&,\quad \tau \geq \tau _{0}\end{matrix}}\right.}

Đây là những chất lưu có khả năng chịu lực cắt ở một mức độ nào đó trước khi chúng bắt đầu chảy. Những ví dụ phổ biến là kem đánh răng và đất sét.

Chất lưu tuân theo luật mũ 

Một chất lưu tuân theo luật mũ là một chất lưu được lý tưởng hóa rằng ứng suất cắt τ {\displaystyle \tau } , được cho bởi công thức:

τ = K ( ∂ u ∂ y ) n {\displaystyle \tau =K\left({\frac {\partial u}{\partial y}}\right)^{n}}

Dạng công thức này rất hữu ích cho việc xấp xỉ hóa tất cả các loại chất lưu nói chung, bao gồm cả chất lưu trượt dính mỏng (như sơn nhựa mủ) và chất lưu trượt đọng dày (như hỗn hợp nước tinh bột).